4. Fie ABCDA'B'C'D' un trunchi de piramidă patrulateră regulată în care AA' = A'B' = 6 cm. Muchia laterală AA' formează cu planul bazei (ABC) un unghi cu măsura de 45°. Calculați volumul trunchiului.​

Răspuns :

Răspuns:

[tex]\boldsymbol{ \red{252\sqrt{2} \ cm^3}}[/tex]

Explicație pas cu pas:

ABCDA'B'C'D' trunchi de piramidă patrulateră regulată, AA' = A'B' = 6 cm, ∡(AA', (ABC)) = 45°.

Notăm O, O' intersecțiile diagonalelor bazelor.

A'C' = A'B'√2 = 6√2 ⇒ A'O' = 3√2 cm

Fie A'N⊥(ABC), N∈AC ⇒ A'O' ≡ NO ⇒ NO = 3√2 cm

∡(AA', (ABC)) = ∡A'AN ⇒ ∡A'AN = 45°

⇒ AN = AA' · cos 45° = 6 · √2/2 ⇒ AN = 3√2 cm

⇒ A'N = AA' · sin 45° = 6 · √2/2 = 3√2 cm ⇒ A'N = 3√2 cm

h = 3√2 cm

AC = 2AO = 2(AN+NO) = 2·2·3√2 = 12√2 cm ⇒ AB = 12 cm

Volumul trunchiului:

[tex]\boldsymbol{\mathcal{V} = \dfrac{h \cdot \Big(\mathcal{A}_{B} + \mathcal{A}_{b} + \sqrt {\mathcal{A}_{B} \cdot \mathcal{A}_{b}}\Big)}{3} } = \dfrac{A'N \cdot \Big(AB^2 + A'B'^2 + \sqrt {AB^2 \cdot A'B'^2}\Big)}{3}\\[/tex]

[tex]= \dfrac{3\sqrt{2} \cdot \Big(12^2 + 6^2 + \sqrt {12^2 \cdot 6^2}\Big)}{3} = \dfrac{3\sqrt{2} \cdot \Big(144 + 36 + 72\Big)}{3} = \dfrac{3\sqrt{2} \cdot 252}{3}\\[/tex]

[tex]= 252\sqrt{2} \ cm^3[/tex]

Vezi imaginea andyilye

Alte intrebari